פולינום מכיל משתנה (x) המוגדל לעוצמה, המכונה תואר, וכמה מונחים ו/או קבועים. פקטורינג פולינום פירושו חלוקת הביטוי לביטויים קטנים יותר המתרבים. ידע זה נלמד מהאלגברה I ואילך, ויכול להיות שקשה להבין אותו אם אין לך בסיס.
צעדים
מתחיל
שלב 1. הרכיבו את הביטוי
הפורמט הסטנדרטי למשוואה הריבועית הוא:
גַרזֶן2 + bx + c = 0
התחל בהזמנת תנאי המשוואה מהעוצמה הגדולה ביותר עד הפחותה, בדיוק כמו בצורה למעלה. לדוגמה, קח;
6 + 6x2 13x = 0
הביטוי יהיה מסודר מחדש כך שניתן יהיה לעבוד עליו ביתר קלות על ידי שינוי המיקום של המונחים:
6x2 + 13x + 6 = 0
שלב 2. מצא את הצורה המעובדת באמצעות אחת מהשיטות להלן
פקטוריזציה של פולינום מביאה לשני ביטויים קטנים יותר שניתן להכפיל אותם ליצירת הפולינום המקורי:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
בדוגמה זו, (2x +3) ו- (3x + 2) הם גורמים לביטוי המקורי, 6x2 + 13x + 6.
שלב 3. בדוק את התוצאה
הכפל את הגורמים המזוהים. אז פשוט שלבו מונחים דומים. להתחיל עם:
(2x + 3) (3x + 2)
בואו נבדוק את זה בשיטת FOIL (אנגלית עבור First Outside, Inside, Last - חוץ תחילה, ואז בפנים), הנקראת גם תכונת ההפצה של הכפל, ומקבלת:
6x2 + 4x + 9x + 6
כעת ניתן להוסיף 4x ו- 9x מכיוון שהם מונחים דומים. אתה יודע שהגורמים נכונים מכיוון שהמשוואה המקורית התקבלה:
6x2 + 13x + 6
שיטה 1 מתוך 6: ניסוי וטעייה
אם יש לך פולינום פשוט מאוד, ייתכן שתוכל להבין את הגורמים בעצמך על ידי התבוננות בו. לדוגמה, לאחר תרגול, מתמטיקאים רבים מסוגלים לזהות שהביטוי 4x2 + ל- 4x + 1 יש את הגורמים (2x + 1) ו- (2x + 1) לאחר שעבד הרבה עם הביטוי הזה בעבר. אבל כמובן שזה לא יהיה כל כך קל עם הפולינומים המסובכים יותר. בדוגמה זו נשתמש בביטוי פחות נפוץ:
3x2 + 2x - 8
שלב 1. רשום את הגורמים למונחים a ו- c
שימוש בפורמט הגרזן הסטנדרטי2 + bx + c = 0, זהה את מונחי a ו- c ורשום את הגורמים שלהם. עבור 3x2 + 2x - 8, זה אומר:
a = 3 ויש לו קבוצת גורמים: 1 * 3
c = -8 ויש לו ארבע קבוצות גורמים: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ו -1 * 8.
שלב 2. הרכיבו שתי קבוצות של סוגריים ריקים
תמלא אותם בקבועים של כל ביטוי:
(x) (x)
שלב 3. מלא את הרווחים מול האיקס בכמה גורמים אפשריים לערך a
עבור המונח a בדוגמה המשמשת, 3x2, יש רק אפשרות אחת:
(3x) (1x)
שלב 4. מלא את שני הרווחים אחרי ה- x בצמד גורמים עבור הקבועים
נניח שאתה בוחר את המספרים 8 ו- 1. רשום אותם:
(3x
שלב 8.)(
שלב 1
שלב 5. החליטו אילו סימנים (חיבור או חיסור) צריכים לעבור בין המשתנים של x למספרים
בהתאם לסימנים בביטוי המקורי, אפשר להבין מה הסימנים של הקבועים צריכים להיות. נקרא לשני הקבועים לשני הגורמים h ו- k:
אם x2 + bx + c, ואז (x + h) (x + k)
אם x2 - bx - c או גרזן2 + bx - c, ואז (x - h) (x + k)
אם x2 - bx + c, ואז (x - h) (x - k)
לדוגמה, 3x2 + 2x - 8, הסימנים חייבים להיות: (x - h) (x + k), וכתוצאה מכך שני הגורמים:
(3x + 8) ו- (x - 1)
שלב 6. בדוק את האפשרויות באמצעות המאפיין החלוקתי
בדיקה ראשונה מהירה להפעלה היא לבדוק אם מונחי האמצע תואמים את הערכים הנכונים. אם לא, ייתכן שבחרת את הגורמים הלא נכונים עבור c. בואו נבדוק את התשובה:
(3x + 8) (x - 1)
בעת ביצוע הכפל תקבל:
3x2 - 3x + 8x - 8
על ידי פישוט הביטוי הזה בסכום של מונחים דומים (-3x) ו- (8x), אתה מקבל:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
כעת אנו יודעים שעלינו לזהות את הגורמים הלא נכונים:
3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
שלב 7. שנה גורמים במידת הצורך
בדוגמה בשימוש, ננסה להשתמש ב -2 ו -4 במקום 1 ו -8:
(3x + 2) (x - 4)
כעת המונח c שווה ל -8, אך המוצר החיצוני/הפנימי (3x * -4) ו- (2 * x) שווה ל -12x ו -2, שלא הולכים להיות משולבים כדי ליצור את המונח b הנכון של +2x.
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
שלב 8. הפוך את הצו במידת הצורך
בואו ננסה להזיז את ה -2 וה -4:
(3x + 4) (x - 2)
כעת המונח c (4 * 2 = 8) עדיין נכון, אך המוצרים החיצוניים/הפנימיים הם -6x ו 4x. על ידי שילובם:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x אנו קרובים ל- 2x, אך האות שגוי.
שלב 9. בדוק את השלטים במידת הצורך
שמור על אותו הסדר, אך שנה את זה עם סימן המינוס:
(3x - 4) (x + 2)
כעת המונח c עדיין נכון, אך המוצרים החיצוניים/הפנימיים הם (6x) ו- (-4x). כמו:
6x - 4x = 2x
2x = 2x כעת ניתן לזהות את המונח החיובי 2x מהבעיה המקורית. אלה חייבים להיות הגורמים הנכונים.
שיטה 2 מתוך 6: פירוק
שיטה זו מזהה את כל הגורמים האפשריים למונחים a ו- c ומשתמשת בהם כדי להבין מהם הגורמים. אם המספרים גדולים מדי או שהשיטות האחרות נראות מסובכות יותר, השתמש בשיטה זו. בואו נשתמש בדוגמה:
6x2 + 13x + 6
שלב 1. הכפל את המונחים a ו- c
בדוגמה זו שניהם שווים ל -6.
6 * 6 = 36
שלב 2. מצא את הערך של מונח ב על ידי פקטורינג ובדיקה
עליך למצוא שני מספרים שהם גורמים לתוצר של a * c והם שווים גם למונח b (13) כאשר הוא מתווסף יחדיו.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
שלב 3. החלף את שני המספרים המתקבלים במשוואה כסכום המונח ב
נשתמש ב- k ו- h כדי לייצג את שני המספרים שאנו מקבלים, 4 ו -9:
גַרזֶן2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
שלב 4. פקטור הפולינום באמצעות קיבוץ
סדר את המשוואה כך שתוכל לחשב את הגורם המשותף הגדול ביותר של שני המונחים הראשונים ושני האחרונים. שתי הקבוצות המעובדות חייבות להיות זהות. צרו את הגורמים השכיחים הגדולים ביותר והניחו אותם בסוגריים ליד הקבוצה המעוצבת; התוצאה תהיה שני הגורמים:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
שיטה 3 מתוך 6: התאמה משולשת
בדומה לפירוק, שיטת "התחלה משולשת" בוחנת את הגורמים האפשריים של תוצרי המונחים a ו- c, ולאחר מכן משתמשת בהם כדי למצוא את הערך של b. כדוגמה, שקול את המשוואה הבאה:
8x2 + 10x + 2
שלב 1. הכפל את המונחים a ו- c
זה יעזור לך לזהות את האפשרויות של מונח b, כמו גם את שיטת הפירוק. בדוגמה זו, a שווה ל- 8 ו- c שווה ל -2.
8 * 2 = 16
שלב 2. מצא שני מספרים עם אותם מספרים שהמוצר והסכום שלהם שווים למונח ב
שלב זה זהה לשיטת הפירוק - עליך לבדוק ולדחות מועמדים לאיתור קבועים. תוצר המונחים a ו- c הוא 16, והמונח c שווה ל- 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
שלב 3. קח את שני המספרים האלה ובדוק את החלפתם בנוסחת "התאמה משולשת"
קח את שני המספרים מהצעד הקודם - בואו נקרא להם h ו- k - ונכניס אותם לביטוי זה:
((ax + h) (ax + k)) / a
במקרה זה נקבל:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
שלב 4. ראה איזה משני המונחים במונה מתחלק באותה מידה ב- a
בדוגמה זו, אנו בודקים אם ניתן לחלק את (8x + 8) או (8x + 2) ב- 8. (8x + 8) מתחלק ב- 8, אז בואו נחלק את המונח הזה ב- a והשאירו את האחרים כפי שהם.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
המונח שאנו חוסכים במקרה זה הוא שאר החלוקה לפי המונח a: (x + 1)
שלב 5. קח את הגורם המשותף הגדול ביותר של מונח אחד או שניהם, אם קיים
בדוגמה זו, למונח השני יש את המספר 2 כגורם המשותף הגדול ביותר שלו, שכן 8x + 2 = 2 (4x + 1). התאם תשובה זו למונח שזוהה בשלב הקודם. אלה הגורמים במשוואה.
2 (x + 1) (4x + 1)
שיטה 4 מתוך 6: הבדל של שני שורשים
ניתן לזהות כמה מקדמים בפולינומים כ"שורשים ", או תוצר של שני מספרים. זיהוי שורשים אלה מאפשר לך לגדל פולינומים הרבה יותר מהר. שקול את המשוואה:
27x2 - 12 = 0
שלב 1. גורם בגורם המשותף הגדול ביותר במידת האפשר
במקרה זה, אנו יכולים לראות ש -27 ו -12 מתחלקים ב -3, אז בוא נפריד ביניהם:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
שלב 2. זהה אם מקדמי המשוואה הם מספרים מרובעים
כדי להשתמש בשיטה זו, עליך להיות מסוגל לקבל את השורש הריבועי המדויק של המונחים. שים לב שסימני המינוס נותרים בחוץ, מכיוון שמספרים אלה הם ריבועים שיכולים להיות תוצרים של שני מספרים חיוביים או שליליים.
9x2 = 3x * 3x ו- 4 = 2 * 2
שלב 3. באמצעות השורשים הריבועיים המזוהים, רשום את הגורמים
קח את הערכים של a ו- c מהשלב למעלה (a = 9 ו- c = 4) וחשב את השורשים המרובעים שלהם - √ a = 3 ו- √ c = 2. הם יהיו מקדמי הגורמים של הביטויים:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
שיטה 5 מתוך 6: נוסחה ריבועית
אם השיטות האחרות נכשלות והמשוואה אינה מחושבת באופן שווה, השתמש בנוסחה הריבועית. שקול את הדוגמה הבאה:
איקס2 + 4x + 1 = 0
שלב 1. החלף את הערכים המתאימים לנוסחה הריבועית:
x = -b ± √ (ב2 - 4 ג)
2
אנו מקבלים את הביטוי:
x = -4 ± √ (42 - 4•1•1) / 2
שלב 2. חשב את הערך של x
אתה צריך לקבל שני ערכים עבור x. כפי שמוצג למעלה, אנו מקבלים שתי תשובות:
x = -2 + √ (3) או x = -2 -√ (3)
שלב 3. השתמש בערכי x לחישוב הגורמים
החלף את ערכי x. הם יהיו הגורמים. אם נזהה את שתי התשובות כ- h ו- k, עלינו לכתוב את הגורמים כדלקמן:
(x - h) (x - k)
במקרה זה, התשובה הסופית היא:
(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
שיטה 6 מתוך 6: שימוש במחשבון
אם אפשר להשתמש בו, מחשבון גרפים מקל על תהליך הפקטורינג הרבה יותר, במיוחד במבחנים. ההוראות הבאות מיועדות למחשבון גרפים. שקול את הדוגמה הבאה:
y = x2 - x - 2
שלב 1. הזן את המשוואה למחשבון
תשתמש בפתרון משוואות, המכונה גם [Y =] מסך.
שלב 2. גרף את המשוואה במחשבון
לאחר הקלדת המשוואה, הקש על מקש [GRAPH] - אתה אמור לראות קשת המייצגת את המשוואה (והיא תהיה קשת מכיוון שאנו עוסקים בפולינומים).
שלב 3. ראה היכן הקשת חוצה את ציר ה- x
מאחר ומשוואות פולינום נכתבות בדרך כלל כגרזן2 + bx + c = 0, אלה שני הערכים של x שהופכים את הביטוי לאפס:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
אם אינך יכול לזהות היכן הגרף חוצה את ציר ה- x, הקש על [2] ולאחר מכן על [TRACE]. הקש על [2] או בחר "אפס". החלק את הסמן משמאל לצומת ולחץ על [ENTER]. החלק את הסמן מימין לצומת ולחץ על [ENTER]. החלק את הסמן קרוב לצומת ולחץ על [ENTER]. המחשבון ימצא את הערך של x. עשו אותו דבר עבור הצומת השני
שלב 4. החלף את ערכי x שהתקבלו בשלב הקודם לשני ביטויי גורם
בעת שימוש בשני הערכים של x (h ו- k), הביטוי בו יהיה:
(x - h) (x - k) = 0
לכן, שני הגורמים חייבים להיות:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
טיפים
- אם יש לך מחשבון TI-84 (גרפיקה), קיימת תוכנית בשם "SOLVER" הפותרת משוואה ריבועית. הוא גם פותר פולינומים בדרגות אחרות.
- אם מונח אינו קיים, המקדם הוא 0. יתכן שיהיה שימושי לשכתב את המשוואה אם כן, למשל: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- אם חישבת פולינום באמצעות הנוסחה הריבועית וקיבלת תשובות עם רדיקלים, המר את ערכי x לשברים כדי לבדוק אותם.
- אם אין למונח מקדם כתוב, הוא יהיה 1, כלומר x2 = 1x2.
- לאחר הרבה תרגול, בסופו של דבר תוכל לפרק פולינומים בראש שלך. עד אז, רשום אותם על נייר.