כיצד לחשב מהירות מיידית: 11 שלבים

תוכן עניינים:

כיצד לחשב מהירות מיידית: 11 שלבים
כיצד לחשב מהירות מיידית: 11 שלבים

וִידֵאוֹ: כיצד לחשב מהירות מיידית: 11 שלבים

וִידֵאוֹ: כיצד לחשב מהירות מיידית: 11 שלבים
וִידֵאוֹ: Как рисовать покемонов | Мега Гарчомп 2024, מרץ
Anonim

מהירות מוגדרת כהאצת אובייקט בכיוון מסוים. במצבים נפוצים רבים, אנו משתמשים במשוואה v = s/t, כאשר v שווה למהירות, s שווה לתזוזה הכוללת של האובייקט מנקודת המוצא שלו, t שווה לזמן שחלף. עם זאת, מבחינה טכנית, תוצאת המשוואה מייצגת רק את המהירות ה"ממוצעת "במהלך הקורס. בעזרת החישוב ניתן למצוא את מהירות האובייקט בכל עת במהלך המסלול. זה נקרא "מהירות מיידית", המוגדרת על ידי המשוואה v = (ds)/(dt), או במילים אחרות, משוואת הנגזרת של המהירות הממוצעת של אובייקט.

צעדים

חלק 1 מתוך 3: חישוב מהירות מיידית

חישוב מהירות מיידית שלב 1
חישוב מהירות מיידית שלב 1

שלב 1. התחל במשוואה למהירות מבחינת תזוזה

כדי לקבל את המהירות המיידית של אובייקט, תחילה עליך משוואה המציגה את מיקום האובייקט (מבחינת העקירה) ברגע נתון. המשמעות היא שהמשוואה חייבת להיות בעלת המשתנה ש לבד בצד אחד ו t בצד השני, אך לא בהכרח לבד, כך:

s = -1.5t2+ 10t + 4

  • במשוואה זו, המשתנים הם:

    עקירה = ש. המרחק שעובר האובייקט ממיקום ההתחלה. לדוגמה, אם עצם נע 10 מטרים קדימה ו -7 מטרים אחורה, סך התזוזה הוא 10 - 7 = 3 מטר (לא 10 + 7 = 17 מטר).
    זמן = t. מסביר את עצמו. בדרך כלל נמדד בשניות.
חישוב מהירות מיידית שלב 2
חישוב מהירות מיידית שלב 2

שלב 2. חשב את הנגזרת של המשוואה

הנגזרת של משוואה היא רק משוואה אחרת המציגה את העקומה שלה בכל נקודת זמן. כדי למצוא את הנגזרת של נוסחת העקירה, מבדיל את הפונקציה עם כלל כללי זה למציאת נגזרות: אם y = a*x , נגזרת = a*n*xn-1. כלל זה מיושם על כל מונח בצד המשוואה המכיל t.

  • במילים אחרות, התחל בצד משמאל לימין של המשוואה עם t. בכל פעם שאתה מוצא t, הפחת את 1 מהמעריך וכפל את המונח כולו במעריך המקורי. כל מונח קבוע (מונחים שאינם מכילים t) ייעלם כשהם מוכפלים ב- 0. תהליך זה אינו קשה כפי שהוא נשמע - ראה את המשוואה הנגזרת לעיל כדוגמה:
  • s = -1.5t2+ 10t + 4

    (2) -1, 5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0

    -3t1 + 10 ט0

    - 3t + 10

חישוב מהירות מיידית שלב 3
חישוב מהירות מיידית שלב 3

שלב 3. החלף את s ב- ds/dt

כדי להראות שהמשוואה החדשה היא נגזרת של הישנה, החלף את s בסימון ds/dt. מבחינה טכנית, משמעות הסימון היא "הנגזרת של s ביחס ל- t". דרך פשוטה יותר להבין זאת היא לחשוב ש ds/dt היא רק העקומה של כל נקודה נתונה במשוואה הראשונה. לדוגמה, כדי למצוא את עקומת הקו שנעשה על ידי s = -1, 5t2 + 10t + 4 ב- t = 5, פשוט הקצה 5 ל- t בנגזרת שלו.

  • בדוגמה זו, המשוואה המוגמרת צריכה להיראות כך:
  • ds/dt = -3t + 10

חישוב מהירות מיידית שלב 4
חישוב מהירות מיידית שלב 4

שלב 4. הקצה ערך ל- t במשוואה החדשה כדי למצוא את המהירות המיידית

לאחר קבלת המשוואה הנגזרת, קל למצוא את המהירות המיידית בכל נקודת זמן. כל שעליך לעשות הוא לבחור ערך עבור t ולהקצות אותו למשוואה הנגזרת. לדוגמה, אם אתה רוצה למצוא את המהירות המיידית עם t = 5, פשוט החלף t ב- 5 בנגזרת ds/dt = -3t + 10. אז פשוט תפתור את המשוואה:

ds/dt = -3t + 10

ds/dt = -3 (5) + 10

ds/dt = -15 + 10 = - 5 מטר/שנייה

שים לב כי נעשה שימוש ביחידת המידה של מטר/שנייה למעלה. מכיוון שאנו עוסקים בתזוזה במונחים של מטרים, זמן במונחים של שניות ומהירות באופן כללי הוא רק תזוזה לאורך זמן, המדידה מתאימה

חלק 2 מתוך 3: אומדן מהירות מיידית בגרף

חישוב מהירות מיידית שלב 5
חישוב מהירות מיידית שלב 5

שלב 1. תרשים את עקירת האובייקט לאורך זמן

בחלק לעיל, הוזכר כי נגזרות אינן אלא נוסחאות המסייעות למצוא את העקומה בכל נקודת זמן במשוואה שאליה היא מתייחסת. למעשה, כאשר מתווים את עקירת אובייקט עם קו על גרף, עקומת הקו בנקודה נתונה שווה למהירות המיידית של האובייקט בנקודה זו.

  • לתרשים, השתמש בציר ה- x כדי לייצג את הזמן ובציר ה- y לייצוג תזוזה. לאחר מכן הפיץ את הנקודות על ידי הקצאת ערכים עבור t במשוואת העקירה, מציאת הערכים עבור s, ושרטוט t, s (x, y) בגרף.
  • שים לב כי הגרף עשוי להשתרע מתחת לציר ה- x. אם הקו המייצג את תנועת האובייקט משתרע מתחת לציר ה- x, הוא מייצג את האובייקט הנע לאחור מהמקום בו הוא התחיל. באופן כללי, הגרף לא ישתרע מאחורי ציר ה- y - לא נהוג למדוד את מהירותם של אובייקטים הנעים אחורה בזמן!
חישוב מהירות מיידית שלב 6
חישוב מהירות מיידית שלב 6

שלב 2. בחר נקודה P ונקודה Q בקרבתה על הקו

כדי למצוא את העקומה בנקודה P, משתמשים בטריק שנקרא "חישוב הגבול". חישוב הגבול כרוך בבחירת שתי נקודות (P ו- Q) בקו המעוקל ומציאת עקומת הקו המחבר בין שתי הנקודות שוב ושוב, בעוד שהמרחק בין P q Q יורד.

נניח שקו העקירה מכיל את הנקודות (1, 3) ו- (4, 7). במקרה זה, אם ברצונך למצוא את העקומה ב (1, 3), הגדר (1, 3) = P ו (4, 7) = ש.

חישוב מהירות מיידית שלב 7
חישוב מהירות מיידית שלב 7

שלב 3. מצא את העקומה בין P ל- Q

העקומה בין P ו- Q היא ההבדל של ערכי y עבור P ו- Q על פני ההבדל של ערכי x ל- P ו- Q. במילים אחרות, H = (yשל)/(איקסש - איקסל), כאשר H הוא העקומה בין שתי נקודות. בדוגמה הקודמת, העקומה בין P ל- Q היא:

H = (yשל)/(איקסש- איקסל)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1, 33

חישוב מהירות מיידית שלב 8
חישוב מהירות מיידית שלב 8

שלב 4. חזור מספר פעמים, והקרב את ה- Q קרוב יותר ל- P

המטרה היא לצמצם את המרחק בין Q ל- P יותר ויותר, עד שתתקרב לנקודה אחת. ככל שהמרחק בין Q ו- P קטן יותר, כך העקומה של הקטעים הקטנים שלה תהיה קרובה יותר לעקומה בנקודה P. בואו נעשה זאת כמה פעמים עבור המשוואה לדוגמא, באמצעות הנקודות (2; 4, 8), (1, 5; 3, 95) ו- (1, 25; 3, 49) עבור Q והנקודה המקורית (1, 3) עבור P:

ש = (2; 4, 8):

H = (4, 8 - 3)/(2 - 1)

H = (1, 8)/(1) = 1, 8

ש = (1, 5.3, 95):

H = (3.95 - 3)/(1, 5 - 1)

H = (0.95)/(0.5) = 1, 9

ש = (1, 25; 3, 49):

H = (3, 49 - 3)/(1, 25 - 1)

H = (0.49)/(0.25) = 1, 96

חישוב מהירות מיידית שלב 9
חישוב מהירות מיידית שלב 9

שלב 5. הערך את העקומה למרווח קטן אינסופי בקו

כאשר Q מתקרב ל- P, H יתקרב לעקומה בנקודה P. בסופו של דבר, במרווח קטן לאין שיעור, H יהיה שווה לעקומה ב- P. מכיוון שלא ניתן למדוד או לחשב מרווח זה, הוא מוערך רק העקומה ב- P כשהיא מתבררת מהנקודות שנבדקו.

  • בדוגמה, על ידי התקרבות Q ל- P, השגנו את הערכים 1, 8, 1, 9 ו- 1.96 עבור H. מכיוון שנראה כי מספרים אלה מתקרבים ל -2, ניתן לומר כי

    שלב 2. הוא הערכה טובה לעקומה ב- P.

  • זכור כי העקומה בנקודה נתונה בקו שווה לנגזרת המשוואה לקו בנקודה זו. מכיוון שהקו מראה את עקירת האובייקט לאורך זמן, וכפי שניתן לראות בקטע לעיל, מהירותו המיידית של אובייקט היא הנגזרת של עקירתו בנקודה נתונה, ניתן גם לומר כי 2 מטר/שנייה הוא הערכה טובה למהירות המיידית ב t = 1.

חלק 3 מתוך 3: דוגמאות לבעיות

חישוב מהירות מיידית שלב 10
חישוב מהירות מיידית שלב 10

שלב 1. מצא את המהירות המיידית ב t = 4, בהתחשב במשוואת התזוזה s = 5t3 - 3 ט2 + 2t + 9.

זהה לזה של הדוגמא בסעיף הראשון, אלא שזה משוואה מעוקבת במקום ריבועית, כך שזה נפתר באותה הדרך.

  • ראשית, נגזרת המשוואה:
  • s = 5t3- 3 ט2+ 2t + 9

    s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1

    15t(2) - 6t(1) + 2 ט(0)

    15t(2) - 6t + 2

  • לאחר מכן, אנו מקצים את הערך ל- t (4):
  • s = 15t(2)- 6t + 2

    15(4)(2)- 6(4) + 2

    15(16) - 6(4) + 2

    240 - 24 + 2 = 218 מטר/שנייה

חישוב מהירות מיידית שלב 11
חישוב מהירות מיידית שלב 11

שלב 2. השתמש באומדן גרפי כדי למצוא את המהירות המיידית ב (1, 3) למשוואת העקירה s = 4t2 - t.

לבעיה זו, אתה משתמש ב (1, 3) כנקודת ה- P, אך עליך למצוא כמה נקודות סמוכות נוספות לשימוש כנקודות Q. אז זה רק עניין של מציאת ערכי H וביצוע הערכה.

  • ראשית, אנו מוצאים את נקודות Q ב- t = 2, 1, 5, 1, 1 ו -1, 01.
  • s = 4t2- t

    t = 2:

    s = 4 (2)2- (2)

    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, כך ש = (2, 14)

    t = 1.5:

    s = 4 (1, 5)2 - (1, 5)

    4 (2, 25) - 1, 5 = 9 - 1, 5 = 7, 5, ואז ש = (1, 5,7, 5)

    t = 1, 1:

    s = 4 (1, 1)2 - (1, 1)

    4 (1, 21) - 1, 1 = 4, 84 - 1, 1 = 3, 74, ואז ש = (1, 1, 3, 74)

    t = 1.01:

    s = 4 (1, 01)2 - (1, 01)

    4 (1, 0201) - 1, 01 = 4, 0804 - 1, 01 = 3, 0704, ואז ש = (1, 01; 3, 0704)

  • אז יש את ערכי H:
  • ש = (2, 14):

    H = (14 - 3)/(2 - 1)

    H = (11)/(1) =

    שלב 11.

    ש = (1, 5,7, 5):

    H = (7, 5 - 3)/(1, 5 - 1)

    H = (4, 5)/(0, 5) =

    שלב 9.

    ש = (1, 1, 3, 74):

    H = (3, 74 - 3)/(1, 1 - 1)

    H = (0, 74)/(0, 1) = 7, 3

    ש = (1, 01; 3, 0704):

    H = (3, 0704 - 3)/(1, 01 - 1)

    H = (0, 0704)/(0, 01) = 7, 04

  • ככל שנראה שהערכים של H מתקרבים ל -7, ניתן לומר זאת 7 מטר/שנייה הוא הערכה טובה למהירות המיידית ב (1, 3).

טיפים

  • כדי למצוא את האצה (שינוי המהירות לאורך זמן), השתמש בשיטה בחלק הראשון כדי להשיג משוואה נגזרת עבור פונקציית העקירה. אז קבלו נגזרת נוספת, הפעם מהמשוואה הנגזרת. כך תהיה לך משוואה למציאת התאוצה בזמן נתון - כל שעליך לעשות הוא להקצות ערך לזמן.
  • המשוואה המתייחסת Y (עקירה) ל- X (זמן) יכולה להיות פשוטה למדי, למשל Y = 6x + 3. במקרה זה, העקומה קבועה ואין צורך למצוא נגזרת כדי לקבל את העקומה, שהיא, לפי המודל הבסיסי Y = mx + b עבור גרפים ליניאריים, 6.
  • התזוזה דומה למרחק אך יש לה כיוון מוגדר, מה שהופך את התזוזה הווקטורית והאצת הסקלר. התזוזה יכולה להיות שלילית והמרחק חיובי בלבד.

מוּמלָץ: